Simulations of Ising models (by Jouke Heringa)

Ising模型

Ising 模型是研究相变的一个简单模型. 自旋位于晶格格点上.一个自旋S可以取+1或-1, 表示有或没有原子在那里，或者原子磁矩的取向. 自旋间的相互作用决定系统的能量: 一对自旋S和S‘的作用能为J S S', J是作用常数. 当温度相对于J很高，自旋们会是无序的: 它们会随机地取值. 然而，当温度低于一个‘临界’值， 这些自旋就会变得有序，进入‘对称破缺’的状态：大多数自旋取一样的值(J>0）.

Metropolis Algorithm （算法)

One way to investigate the ordering transition of a spin system is by so-called Monte Carlo procedures. Monte Carlo 方法是研究这种自旋系统有序化相变的一个重要方法. 经典的Monte Carlo方法是‘重要性抽样’, 由Metropolis等人最早提出. 在这种方法的每一步， 尝试翻转一个自旋.这个尝试可能成功也可能被拒绝， 几率选取的原则是： 要保证最终系统的各个状态出现的几率符合正则分布. Kawasaki Monte Carlo方法与此不同：不是翻转自旋，而是交换相邻的自旋.这种方法适用于总自旋守恒的系统. 在临界系统， Metropolis 和Kawasaki 方法变得非常缓慢.这是由于系统中存在很大的关联区域， 因此很难接受单个（或一对）自旋的改变.

Cluster Algorithm

近年来， ’团簇‘算法诞生了. 由于这些算法不是翻转单个自旋，而是翻转很大区域的自旋，因此临界慢化得到了很大程度上的消除，算法非常高效. 在Swendsen-wang算法里, 系统先被分成很多团簇（按一定规则），然后每个团簇随机的取值. 而Wolff算法只构造一个集团，然后翻转它. 最近，一种交换两个区域自旋的团簇算法也被发明了（J.R.Heringa and H.W.Blote). 可以看成是Kawasaki方法的团簇对应.它可以是多团簇的也可以是单个团簇的.

Simulations

A simulation of the square-lattice Ising model with nearest-neighbor interactions is shown below (adaptation of the applet of Kenji Harada by Jouke Heringa).

正方晶格上Ising模型的模拟：

自旋+1与-1有蓝色与白色表示. 用红色温标选择温度(T 以T_c=2J/ln(\sqrt(2)+1)=2.269185J为单位, 即T=1为临界温度）.

你可以选择算法(algorithm), 然后点击'run',开始模拟.

如果你希望看到每一步系统的变化，请点击'stop',然后‘step'即可.

在低温下，自旋趋于平行. 注意: 在有限大小系统里，自旋的上下对称性并没有真正破缺，系统会在“蓝色相” 与“白色相”之间来回变换（对自旋不守恒的算法，尤其是集团算法而言）. 如果系统趋于无穷大，则会发生对称性的自发破缺： 系统应该只处于“蓝色”或“白色”相。 我们可以选定大多数自旋的取向为白色来反映这种情况（按钮majority spins white). 通过这一方法，也可以观察集团算法在此时的‘真实’效率.

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更多的细节请参考：

H.W.J. Blöte, J.R. Heringa and E. Luijten, Cluster Monte Carlo: Extending the range, Computer Physics Communications 147, 58 (2002)
H.W.J. Blöte, J.R. Heringa and M.M. Tsypin, Three-dimensional Ising model in the fixed-magnetization ensemble: a Monte Carlo study, Physical Review E62, 77 (2000)
J.R. Heringa and H.W.J. Blöte, Geometric Cluster Monte Carlo Simulation, Physical Review E57, 4976 (1998)
H.W.J. Blöte, J.R. Heringa, A. Hoogland, E.W. Meyer and T.S. Smit, Monte Carlo renormalization of the 3-D Ising Model: Analyticity and convergence, Physical Review Letters 76 , 2613 (1996)
H.W.J. Blöte, E. Luijten and J.R. Heringa, Ising universality in three dimensions: a Monte Carlo study, Journal of Physics A28, 6289 (1995)
J.R. Heringa and H.W.J. Blöte, Demonen in Monte Carlo, Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde 61, 163 (1995)
J.R. Heringa, H.W.J. Blöte and A. Hoogland, Critical properties of 3D Ising systems with non-Hamiltonian dynamics, International Journal of Modern Physics C5, 589 (1994)
J.R. Heringa and H.W.J. Blöte, Bond-updating mechanism in cluster Monte Carlo calculations, Physical Review E49, 1827 (1994)
F. Iglói, J.R. Heringa, M.M.F. Philippens, A. Hoogland and H.W.J. Blöte, Critical behavior of two Ising models with near neighbor exclusion, Journal of Physics A23, 6231 (1992)
J.R. Heringa, H. Shinkai, H.W.J. Blöte, A. Hoogland and R.K.P. Zia, Bistability in an Ising model with non-Hamiltonian dynamics, Physical Review B45, 5707 (1992)